Kongruen Lanjar

Posted by: ufiluthfiyah on: 17 Juni 2011

Kekongruenan lanjar berbentuk: ax º b (mod m)

(m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah peubah bilangan bulat).

Pemecahan: ax = b + km è

(Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat)

Contoh 19.

Tentukan solusi: 4x º 3 (mod 9) dan 2x º 3 (mod 4)

Penyelesaian:

(i) 4x º 3 (mod 9)

k = 0 à x = (3 + 0 × 9)/4 = 3/4 (bukan solusi)

k = 1 à x = (3 + 1 × 9)/4 = 3

k = 2 à x = (3 + 2 × 9)/4 = 21/4 (bukan solusi)

k = 3, k = 4 tidak menghasilkan solusi

k = 5 à x = (3 + 5 × 9)/4 = 12 …

k = –1 à x = (3 – 1 × 9)/4 = –6/4 (bukan solusi)

k = –2 à x = (3 – 2 × 9)/4 = –15/4 (bukan solusi)

k = –3 à x = (3 – 3 × 9)/4 = –6 …

k = –6 à x = (3 – 6 × 9)/4 = –15 …

Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …

Cara lain menghitung solusi
ax º b (mod m)

Seperti dalam persamaan biasa,

4x = 12 à kalikan setiap ruas dengan 1/4 (yaitu invers 4), maka 1/4 . 4x = 12 . 1/4 à x = 3

4x º 3 (mod 9) à kalikan setiap ruas dengan balikan dari

4 (mod 9) (dalam hal ini sudah kita hitung, yaitu –2)

(-2) . 4x º (-2) . 3 (mod 9) Û -8x º -6 (mod 9)

Karena –8 º 1 (mod 9), maka x º -6 (mod 9). Semua blangan bulat yang kongruen dengan –6 (mod 9) adalah solusinya, yitu 3, 12, …, dan –6, -15, …

(ii) 2x º 3 (mod 4)

Karena 4k genap dan 3 ganjil maka penjumlahannya menghasilkan ganjil, sehingga hasil penjumlahan tersebut jika dibagi dengan 2 tidak menghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain, tidak ada nilai-nilai x yang memenuhi 2x º 3 (mod 5).

Latihan

Sebuah bilangan bulat jika dibagi dengan 3 bersisa 2 dan jika ia dibagi dengan 5 bersisa 3. Berapakah bilangan bulat tersebut Solusi

Misal : bilangan bulat = x

x mod 3 = 2 à x º 2 (mod 3)

x mod 5 = 3 à x º 3 (mod 5)

Jadi, terdapat sistem kekongruenan:

x º 2 (mod 3) (i)

x º 3 (mod 5) (ii)

Untuk kongruen pertama:

x = 2 + 3k₁ (iii)

Substitusikan (iii) ke dalam (ii):

2 + 3k₁ º 3 (mod 5) à 3k₁ º 1 (mod 5)

diperoleh

k₁ º 2 (mod 5) atau k₁ = 2 + 5k₂

x = 2 + 3k₁

= 2 + 3 (2 + 5k₂)

= 2 + 6 + 15k₂

= 8 + 15k₂

atau

x º 8 (mod 15)

Semua nilai x yang kongruen dengan 8 (mod 15) adalah solusinya, yaitu

x = 8, x = 23, x = 38, …, x = -7, dst

Chinese Remainder Problem

Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut: Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7.

Misakan bilangan bulat tersebut = x. Formulasikan kedalam sistem kongruen lanjar:

x º 3 (mod 5)

x º 5 (mod 7)

x º 7 (mod 11)

Teorema 5. (Chinese Remainder Theorem) Misalkan m₁, m₂, …, m_n adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(m_i, m_j) = 1 untuk i ¹ j. Maka sistem kongruen lanjar

x º a_k (mod m_k)

mempunyai sebuah solusi unik dalam modulo m = m₁ × m₂ × … × m_n.

Contoh 15.

Tentukan solusi dari pertanyaan Sun Tse di atas.

Penyelesaian:

x º 3 (mod 5) à x = 3 + 5k₁ (i)

Sulihkan (i) ke dalam kongruen kedua menjadi:

3 + 5k₁ º 5 (mod 7) à k₁ º 6 (mod 7), atau k₁ = 6 + 7k₂ (ii)

Sulihkan (ii) ke dalam (i):

x = 3 + 5k₁ = 3 + 5(6 + 7k₂) = 33 + 35k₂ (iii)

Sulihkan (iii) ke dalam kongruen ketiga menjadi:

33 + 35k₂ º 7 (mod 11) à k₂ º 9 (mod 11) atau k₂ = 9 + 11k₃. Sulihkan k₂ ini ke dalam (iii) menghasilkan:

x = 33 + 35(9 + 11k₃) = 348 + 385k₃

atau x º 348 (mod 385). Ini adalah solusinya.

348 adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan solusi sistem kekongruenan di atas. Perhatikan bahwa 348 mod 5 = 3, 348 mod 7 = 5, dan 348 mod 11 = 7. Catatlah bahwa 385 = 5 × 7 × 11.

Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut. Solusi tersebut dalam modulo:

m = m₁ × m₂ × m₃ = 5 × 7 × 11 = 5 × 77 = 11 × 35.

Karena 77 . 3 º 1 (mod 5),

55 × 6 º 1 (mod 7),

35 × 6 º 1 (mod 11),

maka solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah

x º 3 × 77 × 3 + 5 × 55 × 6 + 7 × 35 × 6 (mod 385)

º 3813 (mod 385)

º 348 (mod 385)

Bilangan Prima

bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.

Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.

Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.

Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

Teorema 6. (The Fundamental Theorem of Arithmetic). Setiap bilangan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Contoh 16.

9 = 3 ´ 3

100 = 2 ´ 2 ´ 5 ´ 5

13 = 13 (atau 1 ´ 13)

Tes bilangan prima:

(i) bagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima £ Ön.

(ii) Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit,

(ii) tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.

Contoh 17. Tes apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.

Penyelesaian:

(i) Ö171 = 13.077. Bilangan prima yang £ Ö171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit.

(ii) Ö199 = 14.107. Bilangan prima yang £ Ö199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.

Teorema 6 (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka

a^p^–1 º 1 (mod p)

Contoh 18. Tes apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan dengan Teorema Fermat

Ambil a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1.

(i) 2^17–1 = 65536 º 1 (mod 17)

karena 17 habis membagi 65536 – 1 = 65535

Jadi, 17 prima.

(ii) 2^21–1 =1048576 º\ 1 (mod 21)

karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 =

1048575.

Jadi, 21 bukan prima

Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2ⁿ^–1 º 1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes).

Contoh: 341 adalah komposit (karena 341 = 11 × 31) sekaligus bilangan prima semu, karena menurut teorema Fermat, 2³⁴⁰ º 1 (mod 341)

Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat.

Untuk bilangan bulat yang lebih kecil dari 10¹⁰ terdapat 455.052.512 bilangan prima, tapi hanya 14.884 buah yang merupaka